QC - Kontroll kvanteberegning med enhetsoperatører, interferens og sammenfiltring

Foto av Sagar Dani

Flott. Vi er nettopp ferdig med del 2 på Qubit (Quantum bit - kjernen byggestein for kvanteberegning). Så hvordan kan vi kontrollere det? I motsetning til klassisk databehandling, bruker vi ikke logiske operasjoner eller vanlig aritmetikk på qubits. Det er ingen “while statement” eller “branching statement” i kvanteberegning. I stedet utvikler vi enhetsoperatører for å manipulere qubits med prinsippet om interferens i kvantemekanikk. Høres fancy men faktisk veldig grei ut. Vi vil se på konseptet med enhetsoperatører. Som en sideanmerkning vil vi se på forholdet til Schrodinger-ligningen slik at vi ikke designer et konsept mot naturen. Til slutt ser vi på forviklinger, et mystisk kvantefenomen.

Kvanteporter

I klassiske datamaskiner bruker vi grunnleggende logiske operatører (IKKE, NAND, XOR, AND, OR) på biter for å bygge opp komplekse operasjoner. For eksempel er følgende en enkeltbitsadder med en bære.

Kvantedatamaskiner har helt forskjellige grunnleggende operatører kalt kvanteporter. Vi kompilerer ikke et eksisterende C ++ -program for å kjøre på en kvantecomputer. Begge har forskjellige operatører, og kvanteberegning krever forskjellige algoritmer for å dra nytte av dem. I kvanteberegning handler det om å manipulere qubits, sammenfiltrere dem og måle dem. La oss gå tilbake til Bloch-sfæren. Konseptuelt manipulerer kvanteberegningsoperasjoner Φ og θ av superposisjonen for å flytte punkter langs overflaten av enhetsfæren.

Matematisk sett manipuleres superposisjonen med en lineær operator U i form av en matrise.

For en enkelt kvbit er operatøren ganske enkelt en 2 × 2-matrise.

Schrodinger ligning (valgfritt)

Naturen virker naivt enkel! Matematikken er bare lineær algebra som vi lærer på videregående. Mellom målingene blir tilstander manipulert av lineære operatører ved bruk av matrise-multiplikasjon. Når den blir målt, kollapser superposisjonen. Ironisk nok er lineariteten en stor skuffelse for sci-fi-fansen. Dette er en generell egenskap ved kvantedynamikk. Ellers er tid mulig å reise eller reise raskere enn lys. Hvis vi starter med denne lineære operatøren (en enhetlig operatør for å være nøyaktig), kan vi utlede Schrodinger-ligningen, en hjørnestein i kvantemekanikken ved å beskrive hvordan tilstander utvikler seg i kvantemekanikk. Fra det motsatte perspektivet konkluderer Schrodinger-ligningen naturens linearitet.

Kilde

Her kan vi skrive om Schrodinger-ligningen som

hvor H er en hermitiker. Den demonstrerer hvordan stater utvikles i naturen lineært.

Ligningen er lineær, dvs. hvis både ψ1 og ψ2 er gyldige løsninger for Schrodinger-ligningen,

dens lineære kombinasjon er den generelle løsningen av ligningen.

Hvis | 0⟩ og | 1⟩ er mulige tilstander i et system, vil den lineære kombinasjonen være dens generelle tilstand - det er prinsippet om superposisjon i kvanteberegning.

enhetlig

Vår fysiske verden tillater ikke alle mulige lineære operatører. Operatøren må være enhetlig og oppfylle følgende krav.

hvor U † er det transponerte, sammensatte konjugatet av U. For eksempel:

Matematisk bevarer enhetens operatør normer. Dette er en fantastisk egenskap for å holde total sannsynlighet lik en etter tilstandstransformasjonen og holde superposisjonen på overflaten av enhetsfæren.

Hvis vi ser på løsningen for Schrodinger-ligningen nedenfor, adlyder naturen den samme enhetsregelen. H er en hermitisk (det transponerte komplekse konjugatet av en hermitisk tilsvarer seg selv). Å multiplisere operatøren med det transponerte komplekse konjugatet tilsvarer identitetsmatrisen.

I det følgende er et eksempel på H der det er et ensartet magnetfelt E₀ i z-retningen.

Bruk av enhetens drift på | ψ⟩ resulterer i en rotasjon i z-aksen.

Men hva er den virkelige betydningen av enhet i den virkelige verden? Det betyr at operasjoner er reversible. For alle mulige operasjoner er det en annen som kan angre handlingen. Akkurat som å se en film, kan du spille den fremover, og naturen lar motparten U † spille av videoen bakover. Det er ikke sikkert at du legger merke til om du spiller videoen fremover eller bakover. Nesten alle fysiske lover er tids reversible. De få unntakene inkluderer måling i kvantedynamikk og termodynamikkens andre lov. Når du designer en kvantealgoritme, er dette veldig viktig. Den eksklusive OR-operasjonen (XOR) i en klassisk datamaskin er ikke reversibel. Informasjon går tapt. Gitt en utgang på 1, kan vi ikke skille om den opprinnelige inngangen er (0, 1) eller (1, 0).

I kvanteberegning kaller vi operatører som kvanteporter. Når vi designer en kvanteport, sørger vi for at den er enhetlig, dvs. at det vil være en annen kvanteport som kan reversere staten tilbake til originalen. Dette er viktig siden

hvis en operatør er enhetlig, kan den implementeres i en kvantedatamaskin.

Når først enheten er påvist, skal ingeniørene ikke ha problemer med å implementere den, i det minste teoretisk. For eksempel bruker IBM Q-datamaskiner, sammensatt av superledende kretser, mikrobølgepulser med forskjellig frekvens og varighet for å kontrollere qubits langs overflaten av Bloch-sfæren.

For å oppnå enhetlig, produserer vi noen ganger deler av inngangen for å oppfylle dette kravet, som det under selv det ser overflødig ut.

La oss se en av de vanligste kvanteportene, Hadamard-porten som den lineære operatøren er definert som følgende matrise.

eller i Dirac-notasjonen

Når vi bruker operatøren til en opp-spinn eller en ned-spinn-tilstand, endrer vi superposisjonene til:

Hvis det blir målt, har begge en like stor sjanse til å bli snurret opp eller snurret ned. Hvis vi bruker porten igjen, går den tilbake til opprinnelig tilstand.

Kilde

dvs. det transponerte konjugatet til Hadamard er selve Hadamard-porten.

Når vi bruker UU †, gjenopprettes den til den opprinnelige inndata.

Derfor er Hadamard-porten enhetlig.

Kvanteberegning er basert på interferens og sammenfiltring. Selv om vi kan forstå kvanteberegning matematisk uten å forstå disse fenomenene, la oss demonstrere det raskt.

Innblanding

Bølger forstyrrer hverandre konstruktivt eller ødeleggende. For eksempel kan utgangen forstørres eller flates avhengig av den relative fasen til inngangsbølgene.

Hva er rollen som interferens i kvanteberegning? La oss utføre noen eksperimenter.

Mach Zehnder interferometer (kilde)

I det første eksperimentet forbereder vi alle innkommende fotoner til å ha en polariseringstilstand | 0⟩. Denne strømmen av polariserte fotoner deles jevnt av strålesplitter B-stilling ved 45 °, dvs. at den vil bli delt strålen i to ortogonalt polariserte lys og gå ut i separate baner. Deretter bruker vi speil for å reflektere fotonene til to separate detektorer og måle intensiteten. Fra perspektivet til klassisk mekanikk, delte fotoner seg i to separate baner og treffer detektorene jevnt.

I det andre eksperimentet over satte vi en annen strålesplitter foran detektorene. Ved intuisjon fungerer strålesplitterne uavhengig av hverandre og deler en lysstrøm i to halvdeler. Begge detektorene skal oppdage halvparten av lysstrålene. Sannsynligheten for at et foton når detektoren D₀ ved bruk av 1-banen i rødt er:

Den totale sjansen for et foton å nå D₀ er 1/2 fra enten 1-sti eller 0-bane. Så begge detektorene oppdager halvparten av fotonene.

Men det stemmer ikke med det eksperimentelle resultatet! Bare D₀ oppdager lys. La oss modellere statlig overgang for en strålesplitter med en Hadamard-port. Så for det første eksperimentet er fotontilstanden etter splitteren

Når det blir målt, vil halvparten av dem være | 0⟩ og halvparten av dem vil være | 1⟩. Lysstrålene er delt jevnt i to forskjellige stier. Så vår Hadamard gate vil matche med den klassiske beregningen. Men la oss se hva som skjedde i det andre eksperimentet. Som vist før, hvis vi klargjør alle inngangsfotonene til å være | 0⟩ og passere dem i to Hadamard-porter, vil alle fotonene være | 0⟩ igjen. Så når den måles, er det bare D₀ som vil oppdage lysstrålen. Ingen vil nå D₁ så lenge vi ikke utfører noen måling før begge detektorene. Eksperimenter bekrefter at kvanteberegningen er riktig, ikke den klassiske beregningen. La oss se hvordan forstyrrelser spiller en rolle her i den andre Hadamard-porten.

Som vist nedenfor, forstyrrer komponenter av samme beregningsgrunnlag konstruktivt eller destruktivt hverandre for å gi riktig eksperimentelt resultat.

Vi kan forberede inngangsfotonstrålen til å være | 1⟩ og gjøre om beregningen på nytt. Tilstanden etter den første splitteren er forskjellig fra den opprinnelige med en fase av π. Så hvis vi måler nå, vil begge eksperimentene gjøre de samme målingene.

Når du bruker Hadamard-porten igjen, vil en imidlertid produsere | 0⟩ og en produsere | 1⟩. Interferens gir komplekse muligheter.

La meg gjøre et morsommere eksperiment som har en veldig betydelig implikasjon i cybersecurity.

Hvis vi legger en annen detektor Dx etter den første splitteren, viser eksperimentet at begge detektorene vil oppdage halvparten av fotonene nå. Stemmer det med beregningen i kvantemekanikk? I ligningen nedenfor, når vi legger til en måling etter den første splitteren, tvinger vi et kollaps i superposisjonen. Det endelige resultatet vil være annerledes enn en uten tilleggsdetektor og samsvare med det eksperimentelle resultatet.

Naturen forteller oss at hvis du vet hvilken vei fotonen tar, vil begge detektorene oppdage halvparten av fotonene. Det kan vi faktisk oppnå med bare en detektor på bare en av stiene. Hvis ingen måling blir utført før begge detektorene, havner alle fotoner i detektor D₀ hvis fotonet er forberedt på å være | 0⟩. Igjen, intuisjon fører oss til feil konklusjon mens kvantelikningene forblir tillitsfulle.

Dette fenomenet har en kritisk implikasjon. Den ekstra målingen ødelegger den opprinnelige interferensen i vårt eksempel. Tilstanden til et system blir endret etter en måling. Dette er en av de viktigste motivasjonene bak kvantekryptografi. Du kan designe en algoritme slik at hvis en hacker avskjærer (måler) meldingen mellom deg og avsenderen, kan du oppdage en slik inntrenging uansett hvor skånsom målingen kan være. Fordi mønsteret på målingen vil være annerledes hvis det blir avlyttet. Det ikke-klonende teoremet i kvantemekanikk hevder at man ikke kan duplisere en kvantetilstand nøyaktig. Så hackeren kan ikke duplisere og sende den originale meldingen på nytt.

Utover kvantesimulering

Hvis du er fysiker, kan du dra nytte av interferensatferden i kvanteporter for å simulere den samme interferensen i atomverdenene. De klassiske metodene arbeider med sannsynlighetsteori med verdier større eller lik null. Den forutsetter uavhengighet som ikke stemmer i eksperimenter.

Kvantemekanisme hevder denne modellen er feil og introduserer en modell med komplekse og negative tall. I stedet for å bruke sannsynlighetsteori, bruker den interferens for å modellere problemet.

Så hva gir det for ikke-fysiker? Interferensen kan behandles som den samme mekanismen som en enhetlig operatør. Det kan enkelt implementeres i en kvantecomputer. Matematisk sett er den enhetlige operatøren en matrise. Når antall qubits øker, får vi en eksponentiell vekst av koeffisienter som vi kan leke med. Denne enhetlige operatøren (interferens i øyet av fysiker) lar oss manipulere alle disse koeffisientene i en enkelt operasjon som åpner døren for massive datamanipulasjoner.

forviklinger

Generelt mener forskere at uten forviklinger kan kvantealgoritmer ikke vise overlegenhet over klassiske algoritmer. Dessverre forstår vi ikke grunnene godt, og derfor vet vi ikke hvordan vi skreddersyr en algoritme for å dra nytte av det fulle potensialet. Dette er grunnen til at forviklinger ofte nevnes når man introduserer kvanteberegning, men ikke mye etterpå. Av denne grunn vil vi forklare hva som er sammenfiltring i dette avsnittet. Håper at du er forskeren som bryter hemmeligheten.

Vurder superposisjonen til en 2-qubits.

der | 10> betyr at to partikler er henholdsvis i en nedspinn og oppover.

Vurder følgende sammensatte tilstand:

Kan vi dele den sammensatte tilstanden tilbake i to individuelle tilstander som,

Vi kan ikke fordi det krever:

Kvantemekanikk demonstrerer ett ikke-intuitivt konsept. I klassisk mekanikk tror vi å forstå hele systemet kan gjøres ved å forstå hver underkomponent. Men i kvantemekanikk,

Som vist før, kan vi modellere den sammensatte tilstanden og lage måtspådommer perfekt.

Men vi kan ikke beskrive eller forstå det som to uavhengige komponenter.

Jeg ser for meg dette scenariet som et par gift i 50 år. De vil alltid være enige om hva de skal gjøre, men du kan ikke finne svarene når du behandler dem som separate personer. Dette er et altfor forenklet scenario. Det er mange mulige sammenfilteringsstater

og det vil være mye vanskeligere å beskrive dem når antall qubits øker. Når vi utfører kvanteoperasjoner, vet vi hvordan komponenter er korrelert (sammenfiltret). Men før noen måling, forblir de eksakte verdiene åpne. Entanglement gir korrelasjoner som er langt rikere og sannsynligvis mye vanskeligere for en klassisk algoritme å etterligne effektivt.

neste

Nå vet vi hvordan vi kan manipulere qubits med enhetsoperasjoner. Men for de som er interessert i kvantealgoritmer, bør vi vite hva som er begrensningen først. Ellers kan du overse hvilke ting som er vanskelige med kvanteberegning. Men for de som vil vite mer om kvanteporten først, kan du lese den andre artikkelen før den første.